高考等差数列(数学数列的几个题)

1.解：根据等差数列的性质，有S(2n-1)=(2n-1)An。（用文字叙述，即等差数列连续奇数项之和等于项数乘以中间项，这可是高考重点，务必熟悉！）

于是An/Bn=(2n-1)An/(2n-1)Bn=S(2n-1)/P(2n-1)=[7(2n-1)+45]/[(2n-1)+3]=(7n+19)/(n+1)=7+12/(n+1)

要使An/Bn为整数，则n+1应该是12的约数，又n是正整数，所以

n+1=2,3,4,6,12，即n=1,2,3,4,11

故：所求的正整数n的值为1，2，3，4，11。

2.解：因为三个数成等差数列，所以可设为x-d，x，x+d。

由它们和为15，可得(x-d)+x+(x+d)=15，即3x=15，解得x=5

于是这三个数为5-d，5，5+d。

又因为它们得平方和是83，所以(5-d)^2+5^2+(5+d)^2=83，解得：d±2

故所求数列为3,5,7或7,5,3。

3.解：由An=1/[A(n-1)]+1

令n=2，有A2=1/A1+1=1/1+1=2；

令n=3，有A3=1/A2+1=1/2+1=3/2；

令n=4，有A4=1/A3+1=2/3+1=5/3，

故：所求A4的值5/3。

4.解：令Bn=1/An，

则由1/[A(n-1)]+1/[A(n+1)]=2/An ，可得B(n-1)+B(n+1)=2Bn，

即Bn-B(n-1)=B(n+1)-Bn，因此{Bn}是等差数列，设其公差为d。

又B1=1/A1=1，B2=1/A2=3/2，因此d=B2-B1=1/2

于是Bn=B1+(n-1)d=1+(n-1)×1/2=(n+1)/2，那么An=1/Bn=2/(n+1)

故：所求An=2/(n+1)。

5：解：（1）由An=2A(n-1)+2^n-1

令n=4，有A4=2A3+2^4-1，即A4=2A3+15，

将A4=81代入上式，可求得A3=33；

令n=3，有A3=2A2+2^3-1，即A3=2A2+7，

将A3=33代入上式，可求得A2=13；

令n=2，有A2=2A1+2^2-1，即A2=2A1+3，

将A3=13代入上式，可求得A1=5，

故：所求A1，A2，A3的值分别为5，13，33。

（2）令Bn=(An+P)/2^n

则B1=(A1+p)/2=(5+p)/2，B2=(A2+p)/4=(13+p)/4，B3=(A3+p)/8=(33+p)/8。

若{Bn}为等差数列，则2B2=B1+B3，即2×(13+p)/4=(5+p)/2+(33+p)/8，解得：p=-1

以下验证p=-1时，数列｛(An+P)/2^n｝确实为等差数列。

由An=2A(n-1)+2^n-1，可得An-1=2A(n-1)+2^n-2，即An-1=2[A(n-1)-1]+2^n

将上式两边同时除以2^n，可得：(An-1)/2^n=[A(n-1)-1]/2^(n-1)+1

这就意味着，数列｛(An-1)/2^n｝是公差d=1的等差数列。

故：所求p的值为-1。

（3）由（2）可知数列｛Bn｝是公差d=1的等差数列，且易求得B1=(5+p)/2=2

因此Bn=B1+(n-1)d=2+(n-1)×1=n+1，即(An-1)/2^n=n+1，整理得：An=(n+1)2^n+1

故：所求{An}的通项公式为An=(n+1)2^n+1。