定积分高考(定积分求值问题汇总)

定积分的求值在高考中多以选择题、填空题类型考查，属于中低档题，其试题难度考查相对较小，重点考查定积分的几何意义、基本性质和微积分基本定理，注重定积分与其他知识的结合如三角函数、立体几何、解析几何等.

使用情景：一般函数类型

解题步骤：

第一步 求出函数 的原函数 ；

第二步 利用微积分基本定理，把端点的值代入原函数求差；

第三步 得出结论 .

例1 的值为（ ）

A． B． C． D．

答案D

解析

点评一个函数的导数是唯一的，而其原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本 求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算.

使用情景：被积函数的原函数不易求出

解题步骤：

第一步 画出被积函数的图像；

第二步 作出直线计算函数所围成的图形；

第三步 求曲边梯形的面积的代数和的方法求定积分.

例2 计算定积分 .

解：利用导数的几何意义知，该定积分表示的是一个圆心在原点，半径为 的上半个圆围成的面积，结合图象知其值为：

例3 如图所示，抛物线 与 轴所围成的区域是一块等待开垦的土地，现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD作为工业用地，其中A、B在抛物线上，C、D在 轴上.已知工业用地每单位面积价值为 元( )，其它的三个边角地块每单位面积价值 元.

（1）求等待开垦土地的面积；

（2）如何确定点C的位置，才能使得整块土地总价值最大.

解

（1）由于曲线 与 轴的交点坐标为 和 ，

所以所求面积 ；

故等待开垦的土地面积为 .

（2）设点 的坐标为 ，则点 其中

土地总价值

，

由 得，

或者 （舍去）

并且当 时， ，

当 是，

故当 时， 取得最大值.

即当点 的坐标为 时，整个地块的总价值最大.

如图，求f（x）与g（x）、x=a、x=b围城的面积

将上述三条性质推广：

(1)若f(x)≥g(x),x∈[a,b]，∫(a→b)[f(x)-g(x)]dx的几何意义是曲线y=f(x),x=a,x=b,y=g(x)围成的曲边梯形的面积；

(2)若f(x)≤g(x),x∈[a,b]，∫(a→b)[f(x)-g(x)]dx的几何意义是曲线y=f(x),x=a,x=b,y=g(x)围成的曲边梯形的面积的相反数；

(3)若f(x)-g(x)在区间[a,b]上有正有负时，∫(a→b)[f(x)-g(x)]dx的几何意义为曲线y=f(x)在y=g(x)上方部分之下的曲边梯形的面积取正号，曲线y=f(x)在y=g(x)下方部分之上的曲边梯形的面积取负号，构成的代数和。

因此，如果令F(x)=f(x)-g(x)，则，∫(a→b)F(x)dx表示的是各段面积的代数和，而不是所求的面积。

如图，利用上述性质，所求面积为：

∫(a→c)[f(x)-g(x)]dx+∫(c→d)[g(x)-f(x)]dx+∫(d→b)[f(x)-g(x)]dx

=∫(a→c)[f(x)-g(x)]dx - ∫(c→d)[f(x)-g(x)]dx+∫(d→b)[f(x)-g(x)]dx